Além da Intuição: O Surpreendente Problema de Monty Hall

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Muitos já devem ter ouvido falar do Problema de Monty Hall, citado no filme “Quebrando a Banca”. Nesse problema, o participante escolhe uma dentre três portas: atrás de uma há um prêmio valioso, e as outras duas estão vazias. Após a escolha, o apresentador abre uma das portas não escolhidas, mostrando que está vazia. Então, ele pergunta ao participante: “Você quer mudar sua escolha para a outra porta fechada?”

Para esclarecer melhor, vamos visualizar três portas, cada uma numerada de 1 a 3. Digamos que o participante escolha a porta número 1. O apresentador, já sabendo onde o prêmio está escondido, decide mostrar o conteúdo atrás da porta número 3, revelando que ela não contém o prêmio. Agora, o participante enfrenta uma escolha crítica: manter sua decisão pela porta número 1 ou trocar pela porta número 2. Você pode questionar se essa decisão realmente importa. A resposta, que pode ser surpreendentemente contraintuitiva, é o que discutiremos a seguir. Ao final traremos um algoritmo para comprovar nossa teoria.

Não! Não é 50/50.

De maneira intuitiva tendemos a pensar que se agora existem duas portas e ele precisa escolher entre elas, especificamente entre as portas 1 e 2, ele tem 50% de chance de escolher a porta certa, mas intuição não se baseia em estatísticas.

Ao escolher a porta número 1, o participante inicialmente possui uma chance de 1/3 de acertar e 2/3 de errar. Mesmo após o apresentador eliminar uma porta errada das não escolhidas, a probabilidade inicial de 1/3 para a escolha certa e 2/3 para a errada permanece inalterada para a porta inicialmente escolhida. Portanto, surge uma vantagem matemática em optar pela troca de porta. Vale lembrar que o apresentador sabe qual é a porta certa.

Da teoria para a prática

Bom, teoricamente parece fazer sentido, mas será que na prática isso realmente funciona?

Para testar essa teoria vamos criar uma simulação desse programa. Usaremos a linguagem JavaScript mas você pode tentar o mesmo com a sua linguagem favorita.

Começaremos definindo uma função que realiza um número N de rodadas para os casos onde o participante escolhe trocar de porta ou permanecer na mesma porta. No final faremos uma comparação dos resultados.

function simulateMontyHall(numTrials: number, shouldSwitch: boolean) {
    let wins = 0;
    for (let i = 0; i < numTrials; i++) {
        const prizeDoor = Math.floor(Math.random() * 3);
        let playerChoice = Math.floor(Math.random() * 3);

        let openDoor;
        do {
            openDoor = Math.floor(Math.random() * 3);
        } while (openDoor === playerChoice || openDoor === prizeDoor);

        if (shouldSwitch) {
            let switchDoor;
            do {
                switchDoor = Math.floor(Math.random() * 3);
            } while (switchDoor === playerChoice || switchDoor === openDoor);
            playerChoice = switchDoor;
        }

        if (playerChoice === prizeDoor) {
            wins++;
        }
    }

    return (wins / numTrials) * 100;
}

const numTrials = 10000;
console.log(`Se o participante NÃO trocar de porta: ${simulateMontyHall(numTrials, false)}% de vitórias`);
console.log(`Se o participante trocar de porta: ${simulateMontyHall(numTrials, true)}% de vitórias`);

As instruções para executar esse script estão no repositório https://github.com/volnei/monty_hall, você pode baixá-lo e executar localmente e se divertir com os resultados.

Voilà le résultat

Agora chegou a hora de provar nossa teoria, veja abaixo algumas simulações

Com 1000 testes

Se o participante NÃO trocar de porta: 34.2% de vitórias
Se o participante trocar de porta: 68.30000000000001% de vitóriaste

Com 100000 testes

Se o participante NÃO trocar de porta: 33.6% de vitórias
Se o participante trocar de porta: 66.2% de vitórias

Conclusão

Troque a porta! 😁

Com a implementação desse simples algoritmo, foi possível comprovar a teoria baseada em estatísticas, demonstrando de forma prática e irrefutável que a decisão de trocar de porta no Problema de Monty Hall aumenta significativamente as chances de vitória. Essa conclusão, embora contra-intuitiva para muitos, reafirma o poder e a importância da análise estatística em desafiar e esclarecer nossas percepções cotidianas, proporcionando uma valiosa lição sobre a aplicação da lógica e da probabilidade nas tomadas de decisão.